ČETIRI OSOBITE TOČKE TROKUTA

• Svaki trokut ima svoje četiri osobite točke:

1) središte opisane kružnice

2) središte upisane kružnice

3) ortocentar

4) težište

· Središte upisane i opisane kružnice već znaš konstruirati, a sada ćeš naučiti i što je to ortocentar i težište.

Zadatak:

Što znači riječ «osobito»? Što bi značilo «osobita točka»? Koliko osobitih točaka ima svaki trokut? Nabroji osobite točke trokuta.

VISINE TROKUTA I ORTOCENTAR

• Svaki trokut ima tri visine: na svaku stranicu po jednu visinu.
• Nacrtajmo šiljastokutan trokut ABC i označimo mu vrhove i stranice.

• Iz vrha C povuci okomicu na stranicu c.
• Presjek okomice i stranice C označi sa C₁ (kada preimenuješ točku u C₁ koristi opciju «use subscript»). Ta se točka naziva NOŽIŠTE iz vrha C na stranicu c.

• Dužina CC₁ zove se VISINA iz točke C na stranicu c i označava se sa v_c. Ta visina leži na okomici koju si upravo nacrto/la.

Zadatak:

Nađi i ostale dvije visine v_a i v_b u nacrtanom trokutu.

• Ako si dobro radio/la sve tri visine trokuta sijeći će se u jednoj točki.
• Ta se točka naziva ORTOCENTAR trokuta. Označavamo je slovom O.

Zadatak:

Pomiči jedan vrh trokuta i promatraj što se događa s ortocentrom. Može li ortocentar biti izvan trokuta? Može li ortocentar biti na stranici trokuta?

• Riječ ortocentar je složenica od dvije riječi: orto + centar. Orto na latinskom označava sve što je okomito, a centar označava točku. Znači, u prijevodu, ortocentar je točka u kojoj se sijeku okomice.

Zadatak:

Što je ortocentar trokuta? Kako se ortocentar dobiva?

ORTOCENTAR I TUPOKUTAN TROKUT

• Obriši ekran i nacrtaj tupokutan trokut ABC s tupim kutom u vrhu C.

• Nađi okomicu iz vrha A na stranicu a trokuta.
• Problem je što ovdje ne možemo naći nožište na stranici a jer se nožište u ovom slučaju nalazi izvan tupokutnog trokuta.
• Nožište ćemo naći ovako:
  1. nacrtaj pravac koji prolazi točkama C i B (u izborniku s alatima odaberi pravac, markiraj točke C i B, pa odaberi Construct / Line).

• Nađi sve tri okomice i nožišta trokuta, pa nađi ortocntar tupokutnog trokuta.

Zadatak:

Obriši ekran, pa nacrtaj tupokutan trokut KLM, te nađi njegov ortocentar.

Zadatak:

Da li se uvijek visine trokuta sijeku u ortocentru? Kako bi glasila definicija ortocentra?

TEŽIŠNICE TROKUTA

• Dobro pročitaj definiciju težišnice trokuta: Težišnica je dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice trokuta.

Zadatak:

Nacrtaj šiljastokutan trokut i nađi mu sve težišnice. Koliko svaki trokut ima težišnica?

Zadatak:

Nacrtaj tupokutan trokut i nađi mu sve težišnice. Pomiči vrhove trokuta po ekranu. Što primjećuješ?

TEŽIŠTE TROKUTA

• Ako si dobro radio/la, primjetit ćeš da se sve 3 težišnice trokuta sijeku u jednoj točki. Ta se točka naziva TEŽIŠTE TROKUTA.

Zadatak:

Postoji li trokut kojem se težište nalazi izvan trokuta? Koji je to trokut?

Zadatak:

Nacrtaj 4 različita trokuta, pa svakom konstruiraj težište. Pomiči vrhove trokuta po ekranu.

EULEROV PRAVAC (čitaj: Ojlerov pravac)

• Izbornik s alatima postavi na konstrukciju pravca.

• Ako sada na ekranu nacrtaš dvije točke i markiraš ih, te odabereš opciju Construct / Line, dobit ćeš pravac koji prolazi tim dvjema točkama.

Zadatak:

Nacrtaj 5 točaka, pa markiraj dvije po dvije doke ne dobiješ sve pravce koji prolaze tim točkama. Koliko takvih pravaca ima?

Zadatak:

Koliko ima osobitih točaka trokuta? Kako se one zovu? Opiši kako dobivamo svaku od njih.

• Nacrtaj trokut ABC i nađi mu osobite točke.
• Pomiči vrhove trokuta. Tri osobite točke trokuta (od njih 4) leže na istom pravcu. Koje su to točke?
• Provuci pravac kroz te 3 točke (dovoljno je da provučeš kroz dvije).
• Taj se pravac naziva EULEROV PRAVAC.
• Euler je bio poznati matematičar koji je živio u 18. st. i primijetio (i dokazao!) je da te tri točke leže na istom pravcu. Po njemu se taj pravac naziva Eulerov pravac.

Zadatak:

Konstruiraj trokut i njegove 4 osobite točke. Kako se te točke zovu? Označi ih raznim bojama.

Što je Eulerov pravac? Nacrtaj ga.